Multiplicação por escalar

Definição: sejam α um número real e v um vetor qualquer. Definimos αv

• α = 0 ou v = 0 => αv = 0
• α ≠ 0 e v ≠ 0 então αv é o vetor tal que:
• ||αv|| = |α|*||v||
• αv // v
• αv tem mesmo sentido de v se α > 0
• αv tem sentido oposto de v se α < 0

Propriedades: 

• α (v + u) = αv + αu
• (α + β) u = αu  + βu
• 1 * u = u;
• (αβ) u = α(βu) = β(αu)

Observações:

• o versor de um vetor: dado u vetor qualquer diferente do nulo, o versor de u é v = (1/||u||) u = u /||u|| (gera um vetor de norma 1)
• regra de sinais: (-α)v = -(αv) = α(-v) e (-α)(-v) = αv
• sejam u e v vetores quaisquer diferentes do nulo. Se u//v, então u = αv para algum α  real. Ou seja, se forem paralelos, algum número real os torna iguais. Este número é α = ||u||/||v||
• multiplicar um vetor por 0 resulta um vetor nulo.
• sejam u e v vetores não paralelos e αu + βv = 0 => α = β = 0
• o fato de dois vetores serem não paralelos implica que são ambos não nulos
• sejam u e v vetores não paralelos e αu + βv = ɣu + δv => α = ɣ e β = δ

Em resumo: