Interpolação

Dados valores empíricos de uma determinada tabela xi; yi, podemos estimar por um polinômio interpolador valores de xi de modo que tenhamos a variável de resposta yi com certa precisão. O desafio maior para esse caso é exatamente saber qual polinômio utilizar de modo que o erro obtido seja o menor possível.

Interpolação linear
Seja P(x) um polinômio interpolador de modo que P(x) = a0 + a1*x. Deste modo, P(x0) = a0 + a1*x0 = y0 ; P(x1) = a0 + a1*x1 = y1. P(xi) é um polinômio interpolador de grau 1. Para n+1 pontos sempre tem-se (pode-se ter) um polinômio de grau n.
|1  x0|  |a0|    |y0|
|1  x1| .|a1| = |y1|

Interpolação quadrática
Análogo à interpolação linear, temos que a interpolação quadrática é um polinômio interpolador de grau 2, de modo que P(x0) = a0 + a1*x0 + a2*x0² = y0 ; P(x2) = a0 + a1*x1 + a2*x1² = y1 ; P(x2) = a0 + a1*x2 + a2*x2² = y2. A matriz para a forma quadrática é conhecida como matriz de Vandermonde e seu determinante é não nulo. Isso nos garante que o sistema linear terá uma única solução e o polinômio será único. A matriz:
|1  x0  x0²|    |a0|    |y0|
|1  x1  x1²| .  |a1| = |y1|    => o nome disso é preguiça
|1  x2  x2²|    |a2|    |y2|