Citando o livro, "Os domínios de funções reais de duas variáveis reais são conjuntos de pares ordenados de números reais, e as imagens são conjuntos de números reais do tipo que usamos até agora." Ou seja, uma função no modelo z = f (x, y) tem x e y como o par ordenado de variáveis que resulta num número z. O par (x, y) está no domínio D e o número z está no conjunto imagem.
O livro cita algo importante, que é dar às suas variáveis nomes (letras) que lembrem o que elas são. Afinal, duvido que alguém descubra que T =
é a fórmula de distância entre dois pontos se eu não avisar.Domínios e Imagens
Domínio: maior conjunto possível que gere como resultado um número real.
Imagem: conjunto de valores gerados pela aplicação da fórmula no domínio.
Seguinte: vamos evitar entradas que levem a números complexos ou divisão por 0. Então, na hora de definir o domínio de uma função que mantenha sua imagem dentro dos números, tem que prestar atenção se tem uma divisão, uma raiz, essas coisas. Exemplo:
| Função | Domínio | Imagem |
|---|---|---|
| w = raiz(y - x²) | y ≥ x² pra não dar raiz de negativo | [0, ∞) |
| w = 1/x*y | x * y ≠ 0 | (-∞, 0) U (0, +∞) |
| w = sen xy | plano xy | [-1, 1] |
Pontos de fronteira, interiores, espaço aberto e fechado, regiões limitadas e ilimitadas
Nossa. Eu custei a conseguir enfiar isso na cabeça. O livro define pontos interiores e de fronteira da seguinte forma: "Um ponto (x, y) em uma região (conjunto) R no plano xy é um ponto interior de R se é o centro de um disco que está inteiramente em R. Um ponto (x, y) é um ponto de fronteira de R se todo disco centrado em (x, y) contém ao mesmo tempo pontos que estão em R e do lado de fora de R. (O ponto de fronteira propriamente dito não precisa pertencer a R.)" - acho bem confuso, ainda mais depois de falar que o ponto de fronteira não precisa pertencer a R... Mas com imagens acredito que dê pra entender.
Sobre as regiões, uma região é aberta se só contém pontos interiores, e fechada se contém todos os seus pontos de fronteira. Eis a figurinha do livro:
Nessa figura dá pra entender porque tem inequação e equação, daí pensando na igualdade pra definir uma fronteira e na desigualdade porque os números são infinitos dá pra pegar. Mas assim, espero que seja isso mesmo.
PS: a região pode ser nem aberta nem fechada. Por exemplo, se forem colocados alguns pontos de fronteira no primeiro círculo acima (não pergunte como), a região não vai ser aberta nem totalmente fechada, pelas definições.
Por fim, "Uma região no plano é limitada se está dentro de um disco de raio fixo. Caso contrário é não limitada".
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