Teste da razão e da raiz

Me justificando, se tá ali pronto e simples, não vejo porque eu ter que digitar as fórmulas no programinha de fórmulas. É muito chato e trabalhoso.

Testes da comparação

Teorema: Seja Σ a_n e Σ b_n séries de termos não negativos; Se Σ a_n é convergente e a_n > b_n para qualquer n, então Σ b_n também é convergente. Se Σ a_n é divergente e a_n < b_n , Σ b_n é divergente.
Exemplo do livro estou realmente preguiçosa hoje.

Ok, agora o próximo:

Série P

Série P é toda série cuja variável n tem uma potência fixa p, que é um número real. O "formato" da n-ésima variável é sempre ¹/n^p. A série P irá convergir se p > 1 e divergir se p <= 1. Um exemplo retirado do livro:

(eu ainda não peguei qual é a do fundo cinza)

Teste da integral

Teorema: Seja Σ^∞_{n = 0} a_n uma série de termos positivos, então se ∫₀^∞ f(x) dx existe e der um valor "fixo", a série é convergente. Se o resultado for ∞, a série é divergente.

A série de termos positivos só converge se e somente se as somas parciais de seus termos tiverem um limite superior.
Exemplos:

• Série harmônica:
  
  Observe que o limite dessa série dá 0, mas ela é divergente. Isso ocorre porque não há um limite superior para as somas dos seus elementos. Ou seja, citando o livro porque eu nem entendi isso muito bem, "a soma dos 2n termos terminados em 1/2n+1 é maior do que 2n/2n+1 = 1/2". 1/2 no caso é o limite superior das somas dos termos.
• Série convergente qualquer:
  

Só lembrando que o resultado da integral não é o resultado da soma!

Séries telescópicas

Série telescópica é engraçadinha, porque a soma é sempre 1. Normalmente são resolvidas com frações parciais (lembra de cálculo 1? Pois é, eu também não lembrava). Exemplim:

(não sei porque minhas imagens estão ficando com fundo cinza, que saco)

Teste do n-ésimo termo para convergência

• Se uma série é convergente, então a_n tende a 0. Se o limite de a_n não for 0 ou não existir, a série é divergente. Em notação matemática:
  
• Sejam  séries convergentes. 

Séries geométricas

 Considerações sobre séries geométricas:

1. elas sempre começam de n = 0
2. a é uma constante diferente de 0 e r é a base
3. fim

A soma de n termos da série geométrica é  . O limite (sempre com n -> ∞) dessa soma é previsível dependendo do módulo de r. Se |r| < 1, o limite será ^a/1-r, caracterizando uma série convergente. Caso |r| >= 1, o limite tenderá ao infinito, sendo assim, uma série divergente.
Exemplo: