Teste da integral

Teorema: Seja Σ^∞_{n = 0} a_n uma série de termos positivos, então se ∫₀^∞ f(x) dx existe e der um valor "fixo", a série é convergente. Se o resultado for ∞, a série é divergente.

A série de termos positivos só converge se e somente se as somas parciais de seus termos tiverem um limite superior.
Exemplos:

• Série harmônica:
  
  Observe que o limite dessa série dá 0, mas ela é divergente. Isso ocorre porque não há um limite superior para as somas dos seus elementos. Ou seja, citando o livro porque eu nem entendi isso muito bem, "a soma dos 2n termos terminados em 1/2n+1 é maior do que 2n/2n+1 = 1/2". 1/2 no caso é o limite superior das somas dos termos.
• Série convergente qualquer:
  

Só lembrando que o resultado da integral não é o resultado da soma!