Teste da razão e da raiz

Me justificando, se tá ali pronto e simples, não vejo porque eu ter que digitar as fórmulas no programinha de fórmulas. É muito chato e trabalhoso.

Testes da comparação

Teorema: Seja Σ a_n e Σ b_n séries de termos não negativos; Se Σ a_n é convergente e a_n > b_n para qualquer n, então Σ b_n também é convergente. Se Σ a_n é divergente e a_n < b_n , Σ b_n é divergente.
Exemplo do livro estou realmente preguiçosa hoje.

Ok, agora o próximo:

Série P

Série P é toda série cuja variável n tem uma potência fixa p, que é um número real. O "formato" da n-ésima variável é sempre ¹/n^p. A série P irá convergir se p > 1 e divergir se p <= 1. Um exemplo retirado do livro:

(eu ainda não peguei qual é a do fundo cinza)

Teste da integral

Teorema: Seja Σ^∞_{n = 0} a_n uma série de termos positivos, então se ∫₀^∞ f(x) dx existe e der um valor "fixo", a série é convergente. Se o resultado for ∞, a série é divergente.

A série de termos positivos só converge se e somente se as somas parciais de seus termos tiverem um limite superior.
Exemplos:

• Série harmônica:
  
  Observe que o limite dessa série dá 0, mas ela é divergente. Isso ocorre porque não há um limite superior para as somas dos seus elementos. Ou seja, citando o livro porque eu nem entendi isso muito bem, "a soma dos 2n termos terminados em 1/2n+1 é maior do que 2n/2n+1 = 1/2". 1/2 no caso é o limite superior das somas dos termos.
• Série convergente qualquer:
  

Só lembrando que o resultado da integral não é o resultado da soma!

Séries telescópicas

Série telescópica é engraçadinha, porque a soma é sempre 1. Normalmente são resolvidas com frações parciais (lembra de cálculo 1? Pois é, eu também não lembrava). Exemplim:

(não sei porque minhas imagens estão ficando com fundo cinza, que saco)

Teste do n-ésimo termo para convergência

• Se uma série é convergente, então a_n tende a 0. Se o limite de a_n não for 0 ou não existir, a série é divergente. Em notação matemática:
  
• Sejam  séries convergentes. 

Séries geométricas

 Considerações sobre séries geométricas:

1. elas sempre começam de n = 0
2. a é uma constante diferente de 0 e r é a base
3. fim

A soma de n termos da série geométrica é  . O limite (sempre com n -> ∞) dessa soma é previsível dependendo do módulo de r. Se |r| < 1, o limite será ^a/1-r, caracterizando uma série convergente. Caso |r| >= 1, o limite tenderá ao infinito, sendo assim, uma série divergente.
Exemplo:

Séries infinitas

Citando o senhor Thomas, "dada uma sequência de números {a_n}, uma expressão da forma a₁ + a₂ + a₃ + ... + a_n + ... é uma série infinita." Do próprio nome "série infinita" já dá pra tirar alguma coisa, né. Normalmente as séries são definidas por somatórios (é bem melhor do que escrever um monte de termos soltos).
Séries infinitas podem ser classificadas como convergentes ou divergentes.
Uma série convergente é aquela cuja soma resulta num número (calma, não julguem o sentido dessa frase ainda), por exemplo: 1 + 1/2 + 1/4 + 1/8 + ... + 1/2ⁿ = 2. Mas obviamente a gente não precisa somar infinitos termos pra chegar nesse resultado: quando se soma até o n-ésimo termo (a chamada n-ésima soma parcial) já dá pra ir percebendo mais ou menos onde a série vai dar. 
Já uma série divergente é aquela cuja soma tende ao infinito (infinito não é número).