Soma de ponto com vetor

Definição: seja P um ponto e u um vetor qualquer. Definimos

• P + u = Q <=> u = PQ
• P - u = P + (-u)
• P + PQ = Q

Propriedades:

• A + u = A + v => u = v
• A + u = B + u => A = B
• (A + u) + v = A + (u + v)
• (A + u) - u = A

Exemplos:

1 - 2 - 3 - 4

Exercício resolvido: GAAV - soma de ponto com vetor 2

Dado o triângulo ABC onde M e N são os pontos médios dos lados AC e CB, respectivamente, mostre que MN // AB e ||MN|| = 1/2 ||AB||


Observação para ajudar no raciocínio: Se MN é o vetor AB multiplicado por 1/2, isso implica que eles são paralelos. Agora vamos lá provar isso:

Exercício resolvido: GAAV - soma de ponto com vetor 1

Determine o ponto X tal que (A + AB) + CX = C + CB

Soma de vetores

Em resumo, o resultado de uma soma de vetores é o vetor que lida a origem do primeiro à extremidade do segundo.
Definição: dados u e v, diferentes do vetor nulo, tome u = AB e v = CD. Definimos:

• u + v = AC           (soma de vetores)
• u - v = u + (-v)     (diferença de vetores)

Observação: Caso u e v sejam vetores paralelos, o resultado será um vetor com norma igual à soma das normas de u e v. Caso não sejam paralelos, pode-se usar a regra do paralelogramo:

Pergunta: ||u+v|| = ||u|| + ||v|| ? Em geral, NÃO. Para comprovar, lembre-se da condição de existência de triângulos (afinal, usando a regra do paralelogramo ou ligando a origem de v à extremidade de u e realizando a soma, formam-se triângulos): o valor de um lado deve ser menor do que a soma dos outros dois lados e maior do que o valor absoluto da diferença entre eles.

Propriedades: Sejam u, v e w vetores quaisquer. Valem:

• (u + v) + w = u + (v + w)     propriedade associativa
• u + v = v + u                      propriedade comutativa
• u + 0 = 0 + u = u                 o vetor nulo somado a qualquer outro dá o outro
• u + (-u) = 0 = -u + u            um vetor somado ao seu oposto resulta no vetor nulo