Soma de ponto com vetor

Definição: seja P um ponto e u um vetor qualquer. Definimos

• P + u = Q <=> u = PQ
• P - u = P + (-u)
• P + PQ = Q

Propriedades:

• A + u = A + v => u = v
• A + u = B + u => A = B
• (A + u) + v = A + (u + v)
• (A + u) - u = A

Exemplos:

1 - 2 - 3 - 4

Exercício resolvido: GAAV - soma de ponto com vetor 2

Dado o triângulo ABC onde M e N são os pontos médios dos lados AC e CB, respectivamente, mostre que MN // AB e ||MN|| = 1/2 ||AB||


Observação para ajudar no raciocínio: Se MN é o vetor AB multiplicado por 1/2, isso implica que eles são paralelos. Agora vamos lá provar isso:

Exercício resolvido: GAAV - soma de ponto com vetor 1

Determine o ponto X tal que (A + AB) + CX = C + CB

Multiplicação por escalar

Definição: sejam α um número real e v um vetor qualquer. Definimos αv

• α = 0 ou v = 0 => αv = 0
• α ≠ 0 e v ≠ 0 então αv é o vetor tal que:
• ||αv|| = |α|*||v||
• αv // v
• αv tem mesmo sentido de v se α > 0
• αv tem sentido oposto de v se α < 0

Propriedades: 

• α (v + u) = αv + αu
• (α + β) u = αu  + βu
• 1 * u = u;
• (αβ) u = α(βu) = β(αu)

Observações:

• o versor de um vetor: dado u vetor qualquer diferente do nulo, o versor de u é v = (1/||u||) u = u /||u|| (gera um vetor de norma 1)
• regra de sinais: (-α)v = -(αv) = α(-v) e (-α)(-v) = αv
• sejam u e v vetores quaisquer diferentes do nulo. Se u//v, então u = αv para algum α  real. Ou seja, se forem paralelos, algum número real os torna iguais. Este número é α = ||u||/||v||
• multiplicar um vetor por 0 resulta um vetor nulo.
• sejam u e v vetores não paralelos e αu + βv = 0 => α = β = 0
• o fato de dois vetores serem não paralelos implica que são ambos não nulos
• sejam u e v vetores não paralelos e αu + βv = ɣu + δv => α = ɣ e β = δ

Em resumo:

Soma de vetores

Em resumo, o resultado de uma soma de vetores é o vetor que lida a origem do primeiro à extremidade do segundo.
Definição: dados u e v, diferentes do vetor nulo, tome u = AB e v = CD. Definimos:

• u + v = AC           (soma de vetores)
• u - v = u + (-v)     (diferença de vetores)

Observação: Caso u e v sejam vetores paralelos, o resultado será um vetor com norma igual à soma das normas de u e v. Caso não sejam paralelos, pode-se usar a regra do paralelogramo:

Pergunta: ||u+v|| = ||u|| + ||v|| ? Em geral, NÃO. Para comprovar, lembre-se da condição de existência de triângulos (afinal, usando a regra do paralelogramo ou ligando a origem de v à extremidade de u e realizando a soma, formam-se triângulos): o valor de um lado deve ser menor do que a soma dos outros dois lados e maior do que o valor absoluto da diferença entre eles.

Propriedades: Sejam u, v e w vetores quaisquer. Valem:

• (u + v) + w = u + (v + w)     propriedade associativa
• u + v = v + u                      propriedade comutativa
• u + 0 = 0 + u = u                 o vetor nulo somado a qualquer outro dá o outro
• u + (-u) = 0 = -u + u            um vetor somado ao seu oposto resulta no vetor nulo

Vetores

Definições e observações:
1) Segmento orientado
segmento de reta para o qual se fiou uma orientação (direção, sentido e comprimento).

• Notação: (A, B), em que A e B são os pontos de origem e extremidade
• Indicação: flecha
• Observações:
• O segmento orientado (A, A) será dito segmento orientado nulo;
• (A, B) é diferente de (B, A).

                               AB = segmento de reta                 

                            (AB) = segmento orientado           

                      |AB| = comprimento do segmento 

2) Vamos dizer que:

• (A, B) e (C, D) têm o mesmo comprimento se |AB| = |CD|
• (A, B) e (C, D) têm a mesma direção se AB e CD são paralelos (inclui os coincidentes)
• (A, B) e (C, D) têm o mesmo sentido se:
• paralelos e não coincidentes: una as origens e extremidades. Se as linhas que as unem se cruzarem, o sentido dos segmentos é oposto. Se não, o sentido é o mesmo.
• coincidentes: trace um segmento paralelo a um deles e repita o processo anterior.

• Se A ≠ B, então (A, B) e (B, A) têm o mesmo comprimento, direção e sentidos opostos.

3) (A, B) e (C, D) são equipolentes se:

• (A, B) e (C, D) são ambos nulos OU
• se forem de mesmo comprimento, direção e sentido.
• Notação: (A, B) ~ (C, D)
• Observações:
• (A, B) ~ (C, D) => (C, D) ~ (A, B)
• (A, B) ~ (C, D) e (C, D) ~ (E, F) => (A, B) ~ (E, F)
• (A, B) ~ (C, D) => (A, C) ~ (B, D)
• Pergunta: Quantos equipolentes podemos construir para (A, B)? Infinitos, porque todos são diferentes entre si no contexto de segmentos orientados.

4) O vetor AB é:

O conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a (A, B). Qualquer elemento do conjunto é dito representante deste vetor.

• Outras notações: (gente, não sei fazer aquelas setinhas em cima da letra)
• Indicação:
  
• Observações:
• (C, D) ~ (A, B) => vetor CD = vetor AB.
• dado u um vetor qualquer. Para qualquer ponto P, existe um ponto B tal que u = vetor PB. E ainda, B é único, isto é: vetor PA = vetor PB => A = B. Em outras palavras, se a origem é fixa, a extremidade é única.

5) Vetor nulo é o vetor representado por um segmento orientado nulo. Notação: um 0 (zero) com a setinha em cima.

6) Vetor oposto: se u = AB, então o vetor oposto de u é -u = BA.

• Observações:
• -(-u) = u
• dado u qualquer e Q um ponto qualquer, então existe um único A tal que u = AQ. Em outras palavras, se a extremidade é fixa, a origem é única.

7) Vetores paralelos: u e v, ambos diferentes do vetor nulo, têm a mesma direção se possuem representantes paralelos. O vetor nulo é paralelo a todos os outros vetores, por convenção.

8) Vetores de mesmo sentido: u e v, ambos diferentes do vetor nulo, têm o mesmo sentido se u e v são paralelos e possuem representantes no mesmo sentido.

9) Norma: seja u um vetor qualquer, ||u|| (lê-se norma de u) = comprimento de seus representantes. Se ||u|| = 1, então dizemos que u é unitário.

• Observações:
• se u for diferente do vetor nulo, sua norma será maior que 0
• se u for igual ao vetor nulo, sua norma será igual a 0
• ||u|| = ||-u||
• u = v => ||u|| = ||v|| e u//v