Vetores

Definições e observações:
1) Segmento orientado
segmento de reta para o qual se fiou uma orientação (direção, sentido e comprimento).

• Notação: (A, B), em que A e B são os pontos de origem e extremidade
• Indicação: flecha
• Observações:
• O segmento orientado (A, A) será dito segmento orientado nulo;
• (A, B) é diferente de (B, A).

                               AB = segmento de reta                 

                            (AB) = segmento orientado           

                      |AB| = comprimento do segmento 

2) Vamos dizer que:

• (A, B) e (C, D) têm o mesmo comprimento se |AB| = |CD|
• (A, B) e (C, D) têm a mesma direção se AB e CD são paralelos (inclui os coincidentes)
• (A, B) e (C, D) têm o mesmo sentido se:
• paralelos e não coincidentes: una as origens e extremidades. Se as linhas que as unem se cruzarem, o sentido dos segmentos é oposto. Se não, o sentido é o mesmo.
• coincidentes: trace um segmento paralelo a um deles e repita o processo anterior.

• Se A ≠ B, então (A, B) e (B, A) têm o mesmo comprimento, direção e sentidos opostos.

3) (A, B) e (C, D) são equipolentes se:

• (A, B) e (C, D) são ambos nulos OU
• se forem de mesmo comprimento, direção e sentido.
• Notação: (A, B) ~ (C, D)
• Observações:
• (A, B) ~ (C, D) => (C, D) ~ (A, B)
• (A, B) ~ (C, D) e (C, D) ~ (E, F) => (A, B) ~ (E, F)
• (A, B) ~ (C, D) => (A, C) ~ (B, D)
• Pergunta: Quantos equipolentes podemos construir para (A, B)? Infinitos, porque todos são diferentes entre si no contexto de segmentos orientados.

4) O vetor AB é:

O conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a (A, B). Qualquer elemento do conjunto é dito representante deste vetor.

• Outras notações: (gente, não sei fazer aquelas setinhas em cima da letra)
• Indicação:
  
• Observações:
• (C, D) ~ (A, B) => vetor CD = vetor AB.
• dado u um vetor qualquer. Para qualquer ponto P, existe um ponto B tal que u = vetor PB. E ainda, B é único, isto é: vetor PA = vetor PB => A = B. Em outras palavras, se a origem é fixa, a extremidade é única.

5) Vetor nulo é o vetor representado por um segmento orientado nulo. Notação: um 0 (zero) com a setinha em cima.

6) Vetor oposto: se u = AB, então o vetor oposto de u é -u = BA.

• Observações:
• -(-u) = u
• dado u qualquer e Q um ponto qualquer, então existe um único A tal que u = AQ. Em outras palavras, se a extremidade é fixa, a origem é única.

7) Vetores paralelos: u e v, ambos diferentes do vetor nulo, têm a mesma direção se possuem representantes paralelos. O vetor nulo é paralelo a todos os outros vetores, por convenção.

8) Vetores de mesmo sentido: u e v, ambos diferentes do vetor nulo, têm o mesmo sentido se u e v são paralelos e possuem representantes no mesmo sentido.

9) Norma: seja u um vetor qualquer, ||u|| (lê-se norma de u) = comprimento de seus representantes. Se ||u|| = 1, então dizemos que u é unitário.

• Observações:
• se u for diferente do vetor nulo, sua norma será maior que 0
• se u for igual ao vetor nulo, sua norma será igual a 0
• ||u|| = ||-u||
• u = v => ||u|| = ||v|| e u//v