Decomposição por LDLT

Seja A uma matriz simétrica. Podemos decompor A pelo produto de 3 outras matrizes a saber. L é uma matriz triangular inferior e unitária e D é uma matriz diagonal. A solução é: [Ly = b; Dt = y; L^Tx = t] para  .
Podemos ver que um termo usa o outro pra ser definido (l usa d e vice versa). Por isso tem uma ordem para fazer: d₁₁, l₂₁, l₃₁, d₂₂, l₃₂, d₃₃ (num exemplo de matriz de ordem 3). A ordem é essa porque fazendo o d₁₁ (esse é o primeiro em matriz de qualquer ordem) é possível descobrir todos os l da primeira coluna (ou seja, abaixo do índice 11, já que a matriz é triangular inferior e unitária). Após descobrir todos esses, com o d₂₂ dá pra descobrir todos os l abaixo de 22 e por aí vai.

Decomposição pelo método de Cholesky (LLT)

Seja A uma matriz simétrica e definida positiva (ou seja, para a determinante de A - λI todos os λ devem ser maiores que 0)(ou seja, mais fácil ainda: é simétrica e tem a diagonal principal toda positiva). Podemos decompor A por um produto de duas outras matrizes (L e a transposta de L), em que L é triangular inferior e LT é triangular superior. Para obter L, realizamos as seguintes operações:

Feito isso, temos as duas matrizes. IMPORTANTE: a conta é feita coluna por coluna, não adianta tentar começar pela diagonal que não vai dar. Agora um exemplo, de praxe:

Lindo (só que não)! Agora só falta resolver o sisteminha em vermelho aí em cima. Vão dar números horrorosos, então é bacana cortar com 4 casas decimais. Não pretendo resolver, preguiça.