Decomposição por LDLT

Seja A uma matriz simétrica. Podemos decompor A pelo produto de 3 outras matrizes a saber. L é uma matriz triangular inferior e unitária e D é uma matriz diagonal. A solução é: [Ly = b; Dt = y; L^Tx = t] para  .
Podemos ver que um termo usa o outro pra ser definido (l usa d e vice versa). Por isso tem uma ordem para fazer: d₁₁, l₂₁, l₃₁, d₂₂, l₃₂, d₃₃ (num exemplo de matriz de ordem 3). A ordem é essa porque fazendo o d₁₁ (esse é o primeiro em matriz de qualquer ordem) é possível descobrir todos os l da primeira coluna (ou seja, abaixo do índice 11, já que a matriz é triangular inferior e unitária). Após descobrir todos esses, com o d₂₂ dá pra descobrir todos os l abaixo de 22 e por aí vai.

Decomposição pelo método de Cholesky (LLT)

Seja A uma matriz simétrica e definida positiva (ou seja, para a determinante de A - λI todos os λ devem ser maiores que 0)(ou seja, mais fácil ainda: é simétrica e tem a diagonal principal toda positiva). Podemos decompor A por um produto de duas outras matrizes (L e a transposta de L), em que L é triangular inferior e LT é triangular superior. Para obter L, realizamos as seguintes operações:

Feito isso, temos as duas matrizes. IMPORTANTE: a conta é feita coluna por coluna, não adianta tentar começar pela diagonal que não vai dar. Agora um exemplo, de praxe:

Lindo (só que não)! Agora só falta resolver o sisteminha em vermelho aí em cima. Vão dar números horrorosos, então é bacana cortar com 4 casas decimais. Não pretendo resolver, preguiça.

Decomposição LU com pivotação parcial

A pivotação parcial é como se fosse uma 'extensão' do método LU. Existe pra lidar com o pivô nulo. Caso o pivô seja 0, tem que trocar as linhas E o termo independente do resultado do sistema linear que gerou a matriz A. O pivô deve ser o maior número EM MÓDULO da coluna (independentemente do primeiro elemento ser 0). Pra lidar com essa troca de forma facilitada, trabalha-se com uma matriz permutação P, do tipo identidade. A cada troca efetuada no dispositivo prático, troca-se também a ordem das linhas da matriz P e dos multiplicadores e o resultado de LU passa a ser PA, e não apenas A. Vamos ao desenho de exemplo:

Agora resta só montar as matrizes L e U e resolver o sistema:

Vetores

Vetores são como as variáveis normais, só que um vetor pode guardar mais de um valor ao mesmo tempo. Imagina um vetor como uma caixinha com várias divisões, e cada divisão equivaleria a uma variável normal. Tanto que tudo parece com o normal, a declaração, a atribuição de valores e tal.

int i, vetor[5];

Pronto, declarei um vetor de 5 posições. Em C a gente TEM que colocar quantas posições esse vetor vai ter na declaração dele.

OBSERVAÇÃO IMPORTANTE: num vetor de x posições, os índices vão de 0 a x-1. Portanto, no meu vetorzinho de 5 posições eu tenho 0, 1, 2, 3 e 4 como índices. E quando a gente declara, todas essas posições são iniciadas com valores aleatórios. Por isso, antes de usar seu vetor (ou qualquer variável) sempre inicialize, senão vai dar lixo.

Pra atribuir um valor a uma posição do vetor é só colocar qual posição eu quero e atribuir. TARAAAN! Tipo vetor[0] = 18; Taí, a primeira posição do meu vetor tem o valor 18 guardado.

A gente também pode atribuir valores direto na declaração, assim:

int vetor[5] = {18, 14, 9, 5, 44};

Dessa forma nosso vetor já não vem mais com lixo, já vem com esses valores. Se eu declarar um vetor de 5 posições e declarar só 3 delas desse jeito, por exemplo, as outras automaticamente são declaradas com 0.

Uma matriz é um vetor cujas posições contêm outros vetores. A declaração é igual à do vetor: int matriz[5][3]; em que cada uma das 5 posições tem um vetor de 3 posições. Tipo isso. Dá até pra desenhar, fica assim:

[ ][ ][ ][ ][ ]

[ ][ ][ ][ ][ ]

[ ][ ][ ][ ][ ]

A gente pode fazer vetores de múltiplas dimensões (sério, quantas a gente quiser), mas fica meio difícil de ver então é melhor com no máximo 3 mesmo.

Pra inicializar uma matriz seria bem